Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Матрицы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


Кроме того, произведение матриц линейно по каждому аргументу:

(aA + bB)C = aAC + bBC; A(bB + cC) = aAB + cAC.

Важнейшее свойство умножения матриц состоит в том, что оно отвечает композиции линейных отображений. Однако целый ряд других ситуаций в линейной алгебре также удобно описывается умножением матриц: это главная причина унифицирующей роли матричного языка и некоторой самостоятельности матричной алгебры внутри линейной алгебры. Перечислим некоторые из этих ситуаций.

6. Матрица композиции линейных отображений. Пусть P, N, M - три конечномерных линейных пространства, - два линейных отображения. Выберем базисы и {em} в P, N, M соответственно и обозначим через Ag, Af, Afg матрицы g, f, fg в этих базисах. Мы утвержаем, что Afg = AfAg. В самом деле, пусть Af = (ajl), Ag = (bik). Имеем

Следовательно, (j, k)-й элемент матрицы Afg равен , т. е. Afg = AfAg.

Согласно результатам пп. 3-5 множество линейных операторов после выбора базиса в L можно отождествить с множеством квадратных матриц Mn() порядка n = dim L над полем . Имеющиеся в обоих множествам структуры линейных пространств и колец при этом отождествлении согласованы. Биекциям, т. е. линейным автоморфизмам , отвечают обратимые матрицы: если f f - 1 = idL, то AfA -1 = En, так что A -1 = Af-1. Напомним, что матрица A обратима, или невырождена тогда и только тогда, когда .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник