Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Матрицы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


8. Определитель и след линейного оператора. Положим

Tr f = Tr Af = , где Af = (aik)

(след - "trace" - матрицы A есть сумма элементов ее главной диагонали);

det f = det Af.

Инвариантность определителя относительно сопряжения очевидна:

Чтобы установить инвариантность следа, докажем более общий факт: если А, B - такие матрицы, что АВ и ВА определены, то Tr AB = Tr BA.

Действительно,

Tr AB = , Tr AB = .

Если теперь B невырождена, то, применяя доказанный факт к матрицам B -1A и B, получим

Tr(B -1AB) = Tr(BB -1A) = Tr A.

В заключение приведем определения, названия и стандартные обозначения для нескольких классов матриц над вещественными и комплексными числами, исключительно важных в теории групп и алгебр Ли и ее многочисленных приложениях, в частности в физике. Первый класс образуют так называемые классические группы: они действительно являются группами относительно матричного умножения. Второй класс образуют алгебры Ли: они составляют линейные пространства и устойчивы относительно операции взятия коммутатора: [A, B] = AB - BA.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник