Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Матрицы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


10. Классические алгебры Ли. (Матричной) алгеброй Ли называется любая аддитивная подгруппа квадратных матриц Mn(), замкнутая относительно операции коммутирования [A, B] = AB - BA. Следующие множества матриц составляют классические алгебры Ли; обычно они даже образуют линейные пространства над (иногда над R, хотя = C). Они не являются группами по умножению!

a) Алгебра gl(n, ). Она состоит из всех матриц Mn()

б) Алгебра sl(n, ). Она состоит из всех матриц Mn() со следом нуль (иногда говорят "бесследных"). Замкнутость относительно коммутатора следует из формулы Tr[A, B] = 0, доказанной в п.8. Заметим, что Tr является линейной функцией на пространствах квадратных матриц и линейных операторов, так что sl(n, ) является линейным пространством над .

в) Алгебра о(n, ). Она состоит из всех матриц в Mn(), удовлетворяющих условию A + At = 0. Равносильное условие: A = (aik), где aii = 0 (если характеристика отлична от двух), aik = - aki. Такие матрицы называются антисимметричными, или кососимметричными. Заметим, что TrA = 0 для всех .

Если At = -A, Bt = -B, то [A, B]t = [Bt, At] = [-B, -A] = - [A, B], так что [A, B] кососимметрична. Такие матрицы образуют линейное пространство над .

Попутно заметим, что матрица A называется симметричной, если At = A. Множество таких матриц не замкнуто относительно коммутирования, но замкнуто относительно антикоммутирования AB + BA или операции Йордана .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник