в) Если - аффинно линейное отображение и , то отображение аффинно линейно, и . В самом деле,

г) Аффинно линейная функция определяется как аффинно линейное отображение A в , где - одномерное координатное пространство. Таким образом, f принимает значения в , а Df есть линейный функционал на L. Любая постоянная функция f аффинно линейна: Df = 0.

9. Теорема. а) Аффинные пространства вместе с аффинными отображениями образуют категорию.

б) Отображение, ставящее в соответствие аффинному пространству (A, L) линейное пространство L, а аффинному отображению линейное отображение , является функтором из категории аффинных пространств в категорию линейных пространств.

Доказательство. Справедливость общекатегорных аксиом (см. Язык категорий) вытекает из следующих фактов.

Тождественное отображение аффинно. Действительно, a₁ - a₂ = id_L(a₁ - a₂). В частности, D(id_A) = id_L.

Композиция аффинных отображений является аффинным отображением.

В самом деле, пусть . Тогда f₁(a) - f₁(b) = Df₁(a - b) и далее

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-