Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Аффинная и проективная геометрия / Аффинные пространства, аффинные отображения и аффинные координаты / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Мы доказали требуемое и заодно получили, что . Вместе с формулой D(idA) = idL это доказывает утверждение б) теоремы.

Следующий важный результат характеризует изоморфизмы в нашей категории.

10. Предложение. Следующие три свойства аффинного отображения равносильны:

а) f - изоморфизм;

б) Df - изоморфизм;

в) f - биекция в теоретико-множественном смысле.

Доказательство. Согласно общекатегорному определению есть изоморфизм тогда и только тогда, когда имеется такое аффинное отображение , что . Если оно существует, то и , откуда следует, что D(f) - изоморфизм.

Покажем теперь, что Df - изоморфизм тогда и только тогда, когда f - биекция. Фиксируем точку и положим a2 = f(a1). Любой элемент Ai однозначно представляется в виде . Из основного тождества

f(a1 + l1) - f(a1) = Df[(a1 + l1) - a1] = Df(l1)

следует, что f(a1 + l1) = a2 + Df(l1). Следовательно, f - биекция тогда и только тогда, когда Df(l1) при пробегает все элементы L2 по одному разу, т. е. Df является биекцией. Но линейное отображение есть биекция тогда и только тогда, когда оно обратимо, т. е. является изоморфизмом.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник