Мы доказали требуемое и заодно получили, что . Вместе с формулой D(id_A) = id_L это доказывает утверждение б) теоремы.

Следующий важный результат характеризует изоморфизмы в нашей категории.

10. Предложение. Следующие три свойства аффинного отображения равносильны:

а) f - изоморфизм;

б) Df - изоморфизм;

в) f - биекция в теоретико-множественном смысле.

Доказательство. Согласно общекатегорному определению есть изоморфизм тогда и только тогда, когда имеется такое аффинное отображение , что . Если оно существует, то и , откуда следует, что D(f) - изоморфизм.

Покажем теперь, что Df - изоморфизм тогда и только тогда, когда f - биекция. Фиксируем точку и положим a₂ = f(a₁). Любой элемент A_i однозначно представляется в виде . Из основного тождества

f(a₁ + l₁) - f(a₁) = Df[(a₁ + l₁) - a₁] = Df(l₁)

следует, что f(a₁ + l₁) = a₂ + Df(l₁). Следовательно, f - биекция тогда и только тогда, когда Df(l₁) при пробегает все элементы L₂ по одному разу, т. е. Df является биекцией. Но линейное отображение есть биекция тогда и только тогда, когда оно обратимо, т. е. является изоморфизмом.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-