Поскольку любая точка A₁ однозначно представляется в виде a₁ + l₁, эта формула определяет теоретико-множественное отображение . Оно аффинное, f(a₁) = a₂ и Df = g, потому что

Это доказывает существование f. Наоборот, если f - отображение с требуемыми свойствами, то

f(a₁ + l) = a₂ + g(l) для всех .

12. Важный частный случай предложения п. 11 получается, если применить его к (A, L), (L, L), и g = id_L. Получим, что для любой точки существует единственный аффинный изоморфизм , переводящий эту точку в начало координат, с тождественной линейной частью. Это и есть точный смысл представления о том, что аффинное пространство есть "линейное пространство с забытым началом координат".

В частности, аффинные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны ассоциированные линейные пространства. Последние классифицируются своей размерностью, и мы можем назвать размерностью аффинного пространства размерность соответствующего линейного пространства.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-