Если a₀, ..., a_n образуют барицентрическую систему координат в A₁, то по следствию п. 16 всякая точка A представляется единственной барицентрической комбинацией . Определим тогда теоретико-множественное отображение формулой . В силу а) это единственное возможное определение, и нужно лишь проверить, что f - аффинное отображение. Действительно, вычисляя, как в предложении п. 15, получаем

где - линейное отображение, переводящее a_i - a₀ в b_i - b₀ для всех i = 1, ..., n. Оно существует, т. к. a₁ - a₀, ..., a_n - a₀ по предположению образуют базис L₁.

19. Замечания. В аффинном пространстве Rⁿ барицентрическая комбинация представляет положение "центра масс" системы единичных масс, помещенных в точках a_i. Этим объясняется терминология. Если a_i = (0, ..., 1, ..., 0) (единица на i-м месте), то множество точек с барицентрическими координатами , составляет пересечение линейного многообразия с положительным октантом (точнее, "2ⁿ-тантом"). В топологии это множество называется стандартным (n - 1)-мерным симплексом. Одномерный симплекс - это отрезок прямой, двумерный - треугольник, трехмерный - тетраэдр. Вообще, множество есть замкнутый симплекс с вершинами a₁, ..., a_n в вещественном аффинном пространстве. Он называется вырожденным, если векторы a₂ - a₁, ..., a_n - a₁ линейно зависимы.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-