Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Аффинная и проективная геометрия / Аффинные пространства, аффинные отображения и аффинные координаты / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Наоборот, задание транзитивного эффективного действия аддитивной группы L на множестве A определяет на A структуру аффинного пространства с ассоциированным пространством L.

Доказательство. Из аксиом а) и б) следует, что при любых и уравнение tl(x) = a имеет решение x = a + (-l), так что все tl сюръективны. Если tl(a) = tl(b), то найдя по аксиоме в) такой вектор , что b = a + m, получаем a + l = (a + m) + l = (a + l) + m. Но a + l = (a + l) + 0, поэтому из условия единственности аксиомы в) следует, что m = 0, так что a = b. Поэтому все tl инъективны.

Аксиома а) означает, что , а аксиома б) - что t0 = idA. Поэтому отображение является гомоморфизмом аддитивной группы L в группу биекций A с самим собой. Его ядро равно нулю в силу аксиом б) и в).

Наоборот, пусть - эффективное транзитивное действие L на A. Тогда аксиомы а) и б) получаются прямо из определения действия, а аксиома в) - из соединения свойств эффективности и транзитивности.

5. Замечание. Множество, на котором группа действует транзитивно и эффективно, называется главным однородным пространством над этой группой.

Отметим, что в аксиомах аффинного пространства не фигурирует явно структура умножения на скаляры в L. Она появляется лишь в определении аффинных отображений и затем барицентрических комбинаций точек A. Но прежде несколько слов о формализме.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник