Наоборот, задание транзитивного эффективного действия аддитивной группы L на множестве A определяет на A структуру аффинного пространства с ассоциированным пространством L.

Доказательство. Из аксиом а) и б) следует, что при любых и уравнение t_l(x) = a имеет решение x = a + (-l), так что все t_l сюръективны. Если t_l(a) = t_l(b), то найдя по аксиоме в) такой вектор , что b = a + m, получаем a + l = (a + m) + l = (a + l) + m. Но a + l = (a + l) + 0, поэтому из условия единственности аксиомы в) следует, что m = 0, так что a = b. Поэтому все t_l инъективны.

Аксиома а) означает, что , а аксиома б) - что t₀ = id_A. Поэтому отображение является гомоморфизмом аддитивной группы L в группу биекций A с самим собой. Его ядро равно нулю в силу аксиом б) и в).

Наоборот, пусть - эффективное транзитивное действие L на A. Тогда аксиомы а) и б) получаются прямо из определения действия, а аксиома в) - из соединения свойств эффективности и транзитивности.

5. Замечание. Множество, на котором группа действует транзитивно и эффективно, называется главным однородным пространством над этой группой.

Отметим, что в аксиомах аффинного пространства не фигурирует явно структура умножения на скаляры в L. Она появляется лишь в определении аффинных отображений и затем барицентрических комбинаций точек A. Но прежде несколько слов о формализме.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-