Геометрия пространств со скалярным произведением / Трехмерное евклидово пространство / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Инвариантную конструкцию векторного произведения нетрудно дать в наших терминах. Вспомним, что антиэрмитовы операторы в с нулевым следом образуют алгебру Ли su(2) (см. Матрицы). Пространство можно отождествить с этой алгеброй Ли, разделив каждый оператор из на i. Поэтому на ![](Math/o011924.jpg) имеется структура алгебры Ли. Имеем
![](Math/o011925.jpg) ![](Math/o021925.jpg) ![](Math/o031925.jpg) ![](Math/o041925.jpg) ![](Math/o051925.jpg) ![](Math/o061925.jpg) ![](Math/o071925.jpg)
где ![](Math/o011926.jpg) и кососимметричен по всем индексам, или
![](Math/o011928.jpg) ![](Math/o021928.jpg) ![](Math/o031928.jpg) ![](Math/o041928.jpg) ![](Math/o051928.jpg)
Поэтому
![](Math/o011929.jpg) ![](Math/o021929.jpg) ![](Math/o031929.jpg) ![](Math/o041929.jpg) ![](Math/o051929.jpg) ![](Math/o061929.jpg) ![](Math/o071929.jpg) ![](Math/o081929.jpg) ![](Math/o091929.jpg) ![](Math/o101929.jpg) ![](Math/o111929.jpg) ![](Math/o121929.jpg)
так что векторное произведение с точностью до тривиального множителя есть просто коммутатор операторов. Это позволяет без вычислений установить классические тождества
![](Math/o011930.jpg) ![](Math/o021930.jpg) ![](Math/o031930.jpg) ![](Math/o041930.jpg) ![](Math/o051930.jpg) ![](Math/o061930.jpg)
![](Math/o011931.jpg) ![](Math/o021931.jpg) ![](Math/o031931.jpg) ![](Math/o041931.jpg) ![](Math/o051931.jpg) ![](Math/o061931.jpg) ![](Math/o071931.jpg) ![](Math/o081931.jpg) ![](Math/o091931.jpg) ![](Math/o101931.jpg) ![](Math/o111931.jpg)
Есть еще один способ ввести векторное произведение, одновременно связав его со скалярным произведением и кватернионами.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-
|