Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Трехмерное евклидово пространство / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Теперь можем объяснить математический смысл матриц Паули, доказав обратное утверждение.

7. Предложение. Для каждого ортонормированного базиса {e1, e2, e3} пространства существует ортонормированный базис {h1, h2} пространства , обладающий тем свойством, что

или ,

где Ae - матрица оператора e в базисе {h1, h2}. Он определен с точностью до умножения на комплексное число, по модулю равное единице.

Доказательство. Собственные значения ei суть . Пусть , где e3 действует на тождественно, а на - изменением знака. Выберем сначала векторы . Они определены с точностью до умножения на ; матрица e3 в базисе есть .

Далее,

так что есть нулевой собственный вектор для e3 с собственным значением -1. Поэтому . Аналогично . Матрица e1 в базисе эрмитова, поэтому . Наконец, , поэтому . Заменив на , где | x | = | y | = 1, чтобы превратить матрицу e1 в новом базисе в , получим


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник