Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Трехмерное евклидово пространство / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Трехмерное евклидово пространство


1. Трехмерное евклидово пространство является основной моделью физического пространства Ньютона и Галилея. Четырехмерное пространство Минковского , снабженное симметричной метрикой сигнатуры (r+, r-) = (1, 3), является моделью пространства-времени релятивистской физики. Уже поэтому они заслуживают более пристального изучения. С математической точки зрения они также имеют особые свойства, существенные для понимания устройства мира, в котором мы живем: связь вращений в с кватернионами и существование векторного произведения; геометрия векторов нулевой длины в .

Эти специальные свойства весьма удобно излагать на языке связи геометрии и с геометрией вспомогательного двумерного унитарного пространства , называемого пространством спиноров. Эта связь имеет также глубокий физический смысл, ставший ясным лишь после появления квантовой механики. Мы избрали именно такое изложение.

2. Фиксируем двумерное унитарное пространство . Обозначим через вещественное линейное пространство самосопряженных операторов в с нулевым следом. Каждый оператор имеет два вещественных собственных значения; они отличаются только знаком, т. к. след, равный их сумме, обращается в нуль. Положим

- положительное собственное значение f.

3. Предложение. с нормой является трехмерным евклидовым пространством.

Доказательство. В ортонормированном базисе операторы f представлены эрмитовыми матрицами вида


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник