Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Трехмерное евклидово пространство / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


11. Гомоморфизм . Фиксируем ортонормированный базис {h1, h2} в и соответствующий ему ортонормированный базис {e1, e2, e3} в , для которого . Любой унитарный оператор переводит {h1, h2} в , этому последнему базису отвечает базис , и имеется ортогональный оператор , который переводит {ei} в . По следствию п. 8 , т. к. определитель s(U) положителен.

Реализовав матрицами в базисе {h1, h2}, можем представить действие s(U) на простой формулой:

s(U)(A) = UAU -1

для любых . Действительно, это частный случай общей формулы замены матрицы оператора при замене базиса. Можем теперь доказать следующий важный результат.

12. Теорема. Отображение s, ограниченное на SU(2), определяет сюръективный гомоморфизм групп с ядром .

Доказательство. Из формулы s(U)(A) = UAU -1 сразу видно, что s(E) = id и s(UV) = s(U)s(V), так что s является гомоморфизмом групп. Его сюрьективность проверяется так.

Выберем элемент и пусть g переводит базис в в новый базис . Построим по нему базис в , в котором операторы задаются матрицами . По предложению п. 7 существует с точностью до того, что матрица , возможно, равна , а не . На самом деле эта возможность исключена по следствию п. 8, т. к. сохраняет ориентацию . Оператор U, переводящий {h1, h2} в , удовлетворяет условию s(U) = g. Правда, он может принадлежать лишь U(2), а не SU(2). Если , то . Матрица переводит {h1, h2} в , а этому базису в по-прежнему отвечает базис в . Следовательно, также , и получаем, что сюрьективен.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник