Пусть . Поскольку оба базиса ортонормированы, матрица перехода U должна быть унитарна. По следствию п. 7 ее можно представить в виде exp(iA), где A - эрмитова матрица. Тогда для всех матрица tA эрмитова, а оператор exp(itA) унитарен, и можем положить

Это завершает доказательство.

Операторы в называются наблюдаемыми проекцией спина на соответствующие оси в : эту терминологию объясняет квантовомеханическая интерпретация из п. 5. Множитель 1/2 введен для того, чтобы их собственные значения были равны .

9. Векторное произведение. Пусть {e₁, e₂, e₃} - ортонормированный базис в , принадлежащий отмеченной ориентации. Векторное произведение в определяется классической формулой

Замена базиса на другой, ориентированный так же, не меняет векторное произведение; если же новый базис ориентирован противоположно, то у него меняется знак.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-