Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Трехмерное евклидово пространство / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


14. Структура SO(3). Мы отождествили SU(2) топологически с трехмерной сферой. При гомоморфизме в одну точку SO(3) переходят пары элементов . На сфере они образуют концы одного из диаметров. Поэтому SO(3) топологически есть результат склеивания трехмерной сферы по парам противоположных точек. С другой стороны, пары противоположных точек сферы находятся во взаимно однозначном соответствии с прямыми в четырехмерном вещественном пространстве, соединяющими точки пары. Множество таких прямых называется трехмерным вещественным проективным пространством и обозначается иногда RP3; позже изучим проективные пространства подробнее. Таким образом, SO(3) топологически эквивалентна RP3.

Посмотрим теперь, во что гомоморфизм s переводит образующие SU(2), описанные в предыдущем пункте. В стандартном базисе пространства имеем

Поэтому

является вращением на угол t вокруг оси . Совершенно аналогично проверяется, что есть вращение на угол t вокруг оси также для k = 2, 3. В частности, любое вращение из SO(3) разлагается в произведение трех вращений относительно на углы Эйлера , причем можно считать меняющимся от 0 до .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник