[an error occurred while processing the directive]
   Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Трехмерное евклидово пространство / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Поэтому x, y должны удовлетворять еще условию ; тогда автоматически . Можно положить, например, .

Итак, в базисе {h1, h2} имеем , и этот базис определен с точностью до умножения на скаляр, по модулю равный единице. Те же рассуждения, что для e1, показывают, что в таком базисе имеет вид , где . Кроме того, условие ортогональности e1e2 + e2e1 = 0 дает

т. е. , откуда , либо . Поэтому или .

8. Следствие. Пространство снабжено отмеченной ориентацией: ортонормированный базис {e1, e2, e3} принадлежит к классу, отвечающему этой ориентации, тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис {h1, h2} в , в котором , a = 1, 2, 3.

Доказательство. Мы должны проверить, что если {ea} в базисе {hb} и в базисе задаются в точности матрицами Паули, то определитель матрицы перехода от {ea} к положителен, или что имеется непрерывное движение, переводящее {ea} в . Построим такое движение, показав, что {hb} переводится в унитарным непрерывным движением: существует такая система унитарных операторов , зависящая от параметра , что и {ft(h1), ft(h2)} образуют ортонормированный базис для всех t. Тогда, обозначив через {gt(e1), gt(e2), gt(e3)} ортонормированный базис , задающийся матрицами Паули в базисе {ft(h1), ft(h2)}, построим нужное нам движение в .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник