[an error occurred while processing the directive]
   Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Теоремы классификации / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


б) Пусть теперь (L, g) и (L', g') - пара ортогональных пространств над R или эрмитовых над C с сигнатурами (r0, r+, r-) и , определенными с помощью некоторых ортогональных разложений , , как в теореме п. 3. Предположим, что между ними существует изометрия. Тогда прежде всего dim L = dim L', так что . Далее, точно так же, как в предыдущем пункте, проверяется, что r0 совпадает с размерностью ядра g, а - с размерностью ядра g', а эти ядра суть суммы нулевых пространств Li и в соответствующих разложениях. Поскольку изометрия определяет линейный изоморфизм между ядрами, имеем и .

Остается проверить, что . Положим , где L0, L+, L- - суммы нулевых, положительных и отрицательных подпространств исходного разложения L, и соответственно для L'. Предположим, что , и придем к противоречию; возможность разбирается аналогично. Ограничим изометрию на . Каждый вектор f(l) однозначно представляется в виде суммы

f(l) = f(l)0 + f(l)+ + f(l)-,

где и т. п. Отображение линейно. Так как по предположению , существует ненулевой вектор , для которого f(l)+ = 0, так что

f(l) = f(l)0 + f(l)-.

Но g(l, l) > 0, потому что и L+ есть ортогональная прямая сумма положительных одномерных пространств. Так как f - изометрия, мы должны иметь также g'(f(l), f(l)) > 0. С другой стороны,


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник