Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Теоремы классификации / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Перейдем теперь к проблеме единственности. Само по себе разложение в ортогональную прямую сумму, существование которого утверждается в теореме п. 3, далеко не единственно, кроме тривиальных случаев размерности 1 (или 2 в симплектическом случае). Над общими полями в случае ортогональной геометрии неоднозначно определяется также и набор инвариантов , который характеризует ограничения g на одномерные подпространства Li. Точный ответ на вопрос о классификации ортогональных пространств существенно зависит от свойств основного поля, и для = Q, например, связан с такими довольно тонкими теоретико-числовыми фактами, как квадратичный закон взаимности. Поэтому в ортогональном случае ограничимся описанием результата для = R и C.

4. Инварианты пространств с метрикой. Пусть (L, g) - пространство со скалярным произведением. Положим n = dim L, r0 = dim L0, где L0 - ядро формы g. Кроме того, введем два дополнительных инварианта, относящихся только к ортогональной для = R и эрмитовой геометриям: r+ и r-, числа положительных и отрицательных одномерных подпространств Li в некотором ортогональном разложении L в прямую сумму, как в теореме п. 3.

Очевидно, и n = r0 + r+ + r- для эрмитовой и ортогональной геометрии над R. Набор (r0, r+, r-) называется сигнатурой пространства. При r0 = 0 сигнатурой называют иногда также (r+, r-) или r+ - r- (считая n = r+ + r- известным).

Теперь можем сформулировать теорему единственности.

5. Теорема. а) Симплектические пространства над произвольным полем, а также ортогональные пространства над C с точностью до изометрии определяются двумя целыми числами n, r0, т. е. размерностями пространства и ядра скалярного произведения.

б) Ортогональные пространства над R и эрмитовы пространства над C с точностью до изометрии определяются сигнатурой (r0, r+, r-), которая не зависит от выбора ортогонального разложения (это утверждение называется теоремой инерции).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник