Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Теоремы классификации / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


(при надлежащем упорядочении). Чаще всего понятие ортонормированного базиса применяют в невырожденном случае, когда векторов ei с g(ei, ei) = 0 нет. Следующая простая, но важная формула позволяет явно написать коэффициенты разложения любого вектора по ортогональному базису (в невырожденном случае):

Действительно, скалярные произведения левой и правой части со всеми ei совпадают, а из невырожденности следует, что если g(e, ei) = g(e', ei) для всех i, то e = e', т. к. e - e' лежит в ядре формы g.

В симплектическом пространстве ортогональный базис, очевидно, может существовать, только если g = 0. Теорема п. 3 обеспечивает, однако, существование симплектического базиса {e1, e2, ..., er; er+1, ..., e2r; e2r+1, ..., en}, который характеризуется тем, что

g(ei, er+i) = - g(er+i, ei) = 1, i = 1, ..., r,

а все остальные попарные скалярные произведения равны нулю. Действительно, следует разложить L в ортогональную прямую сумму двумерных невырожденных подпространств , и одномерных вырожденных , и в качестве {ei, er+i} для взять базис Li, построенный в п. 10, а в качестве ej для взять любой ненулевой вектор из Lj.

Матрица Грама симплектического базиса имеет вид

Ранг симплектической формы, по теореме п. 5, равен 2r. В частности, невырожденное симплектическое пространство обязательно четномерно.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник