б) Всякую квадратную антисимметричную матрицу G над полем характеристики можно привести преобразованием , где A невырождена, к виду

.

Число 2r равно рангу G.

в) Всякую эрмитову матрицу G над C можно привести к диагональному виду с числами на диагонали преобразованием , где A невырождена. Количества 0 и зависят лишь от G.

8. Билинейные формы. Если векторы пространства (L, g) с фиксированным базисом записываются координатами в этом базисе, то выражение g через координаты является билинейной формой от 2n переменных, n = dim L:

где G - матрица Грама базиса. Замена базиса сводится к линейному преобразованию переменных x₁, ..., x_n и y₁, ..., y_n с помощью одной и той же невырожденной матрицы A в билинейном случае (или матрицы A для , для и в полуторалинейном случае). Предыдущие результаты означают, что в зависимости от свойств симметрии матрицы G форму можно привести таким преобразованием к одному из следующих видов, называемых каноническими.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-