Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Теоремы классификации / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Это противоречие завершает доказательство того, что у изометричных пространств сигнатуры, вычисленные по любым ортогональным разложениям, одинаковы.

Наоборот, если (L, g), (L', g') - два пространства с одинаковыми сигнатурами, то между подпространствами из их ортогональных разложений и можно установить взаимно однозначное соответствие , сохраняющее знак ограничения g на Li и g' на соответственно. По результатам пп. 7 и 8 существуют изометрии , и их прямая сумма будет изометрией между L и L'.

Теперь выведем несколько следствий и переформулировок теорем пп. 3 и 5, которые подчеркивают разные аспекты ситуации.

6. Базисы. Пусть (L, g) - пространство со скалярным произведением. Базис {e1, ..., en} в L называется ортогональным, если g(ei, ej) = 0 для всех . Из теоремы п. 5 следует, что у любого ортогонального или эрмитова пространства имеется ортогональный базис. Действительно, достаточно построить разложение на ортогональные одномерные подпространства и затем выбрать .

Ортогональный базис {ei} называется ортонормированным, если g(ei, ei) = 0 или для всех i. Обсуждение в конце раздела Скалярные произведения показывает, что у любого ортогонального пространства над R или C и у любого эрмитова пространства имеется ортонормированный базис. Теорема п. 5 показывает, что числа элементов e ортонормированного базиса с g(e, e) = 0, 1 или -1 не зависят от базиса для = R (ортогональный случай) и = C (эрмитов случай). В ортогональном случае над C всегда можно добиться того, что g(ei, ei) = 0 или 1, и количества таких векторов в базисе не зависят от самого базиса. Матрица Грама ортонормированного базиса имеет вид


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник