[an error occurred while processing the directive]
   Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Теоремы классификации / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Доказательство. Проведем индукцию по размерности L. Случай dim L = 1 тривиален; пусть . Если g нулевая, доказывать нечего. Если g ненулевая, то в симплектическом случае имеется пара векторов с . Согласно п. 10, натянутое на них подпространство L0 невырождено. По предложению п. 2 , и по индуктивному предположению можем далее разложить , как сформулировано в теореме. Это даст требуемое разложение L.

В ортогональном и эрмитовом случае покажем, что из нетривиальности g следует существование невырожденного одномерного подпространства L0; проверив это, сможем положить и применить прежнее рассуждение, т. е. индукцию по размерности L.

В самом деле, допустим, что g(l, l) = 0 для всех , и покажем, что тогда . Действительно, для всех имеем

0 = g(l1 + l2, l1 + l2) = g(l1, l1) + 2g(l1, l2) + g(l2, l2) = 2g(l1, l2)

или

0 = g(l1 + l2, l1 + l2) = g(l1, l1) + 2Re g(l1, l2) + g(l2, l2) = 2Re g(l1, l2).

В ортогональном случае отсюда сразу следует, что g(l1, l2) = 0. В эрмитовом получаем лишь, что Re g(l1, l2) = 0, т. е. g(l1, l2) = ia, a R. Но если , то также

0 = Re g((ia) -1l1, l2) = Re(ia) -1g(l1, l2) = 1.

Получаем противоречие.

Это завершает доказательство.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник