Самосопряженные операторы

1. В части Линейные пространства и линейные отображения мы видели, что простейший и наиболее важный класс линейных операторов образуют диагонализируемые операторы. Оказывается, что в евклидовых и унитарных пространствах совершенно особую роль играют операторы с вещественным спектром, диагонализируемые в некотором ортонормированном базисе. Иными словами, эти операторы осуществляют вещественные растяжения пространства вдоль системы попарно ортогональных направлений.

Пусть {e₁, ..., e_n} - ортонормированный базис в L и - оператор, для которого , i = 1, ..., n. Нетрудно убедиться, что он обладает следующим простым свойством:

(f(l₁), l₂) = (l₁, f(l₂)) для всех .     (1)

Действительно,

или ,

или

(в унитарном случае вещественность использовалась во второй формуле). Операторы со свойством (1) называются самосопряженными, и мы установили, что операторы с вещественным спектром, диагонализируемые в ортонормированном базисе, самосопряжены. Вскоре докажем и обратное утверждение, но сначала исследуем свойство самосопряженности более систематично.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-