Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Самосопряженные операторы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


Самосопряженные операторы


1. В части Линейные пространства и линейные отображения мы видели, что простейший и наиболее важный класс линейных операторов образуют диагонализируемые операторы. Оказывается, что в евклидовых и унитарных пространствах совершенно особую роль играют операторы с вещественным спектром, диагонализируемые в некотором ортонормированном базисе. Иными словами, эти операторы осуществляют вещественные растяжения пространства вдоль системы попарно ортогональных направлений.

Пусть {e1, ..., en} - ортонормированный базис в L и - оператор, для которого , i = 1, ..., n. Нетрудно убедиться, что он обладает следующим простым свойством:

(f(l1), l2) = (l1, f(l2)) для всех .     (1)

Действительно,

или ,

или

(в унитарном случае вещественность использовалась во второй формуле). Операторы со свойством (1) называются самосопряженными, и мы установили, что операторы с вещественным спектром, диагонализируемые в ортонормированном базисе, самосопряжены. Вскоре докажем и обратное утверждение, но сначала исследуем свойство самосопряженности более систематично.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник