Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Самосопряженные операторы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


11. Нормальные операторы. Как унитарные, так и самосопряженные операторы в унитарном пространстве являются частным случаем нормальных операторов, которые можно описать двумя равносильными свойствами:

а) Это операторы, диагонализируемые в ортонормированном базисе.

б) Это операторы, коммутирующие со своим сопряженным оператором.

Проверим равносильность.

Если {ei} - ортонормированный базис с , то , так что [f, f*] = 0, и из а) следует б).

Для доказательства обратной импликации выберем собственное значение оператора f и положим

Проверим, что . В самом деле, если , то

поскольку ff* = f*f. Отсюда вытекает, что пространство f-инвариантно: если (l, l0) = 0 для всех , то

(f(l), l0) = (l, f*(l0)) = 0.

Такое же рассуждение показывает, что f*-инвариантно. Ограничения f и f* на , очевидно, коммутируют. Применяя индукцию по размерности L, можем считать, что на f диагонализируется в ортонормированном базисе. Так как то же верно для , это завершает доказательство.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник