Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Самосопряженные операторы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


Тогда с помощью невырожденной линейной замены переменных (общей для и ) эти две формы можно привести к виду

или

Доказательство. Очевидно, обе формулировки эквивалентны. Чтобы доказать их, рассмотрим (L, g1) как ортогональное или унитарное пространство, переобозначим g1(l1, l2) через (l1, l2) и представим g2(l1, l2) в виде (l1, l2)f, где - некоторый самосопряженный оператор, как это было сделано в п. 4. После этого найдем ортонормированный базис в L, в котором f диагонализируется. По замечанию в конце п. 4 этот базис будет удовлетворять требованиям следствия (точнее, утверждения а)).

9. Ортогональные проекторы. Пусть L - линейное пространство над и пусть дано его разложение в прямую сумму: . Как было показано в части Линейные пространства и линейные отображения, оно определяет два проектора таких, что Im pi = Li, idL = p1 + p2, p1p2 = p2p1 = 0, . собственные значения проекторов равны 0 или 1.

Если L - евклидово или унитарное пространство и , то соответствующие ортогональные проекторы диагонализируются в ортонормированном базисе L - объединении таких базисов L1 и L2 - и потому самосопряжены. Наоборот, любой самосопряженный проектор p есть оператор ортогонального проектирования на подпространство. Действительно, Ker p и Im p натянуты на собственные векторы p, отвечающие собственным значениям 0 и 1 соответственно, так что Ker p и Im p ортогональны по теореме п. 5 и .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник