Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Самосопряженные операторы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


в евклидовом случае, и аналогично

в унитарном. Следовательно, если оператор f самосопряжен, то построенная по нему новая метрика (l1, l2)f будет по-прежнему симметричной или эрмитовой. Верно и обратное, как нетрудно убедиться прямо или с помощью предложения п. 3.

Таким образом, установили биекцию между множествами самосопряженных операторов, с одной стороны, и симметричных скалярных произведений в пространстве, где одно невырожденное скалярное произведение задано, - с другой. В евклидовом и унитарном случае после выбора ортонормированного базиса соответствие легко описывается на матричном языке: матрица Грама ( , )f транспонирована к матрице отображения f.

Теперь докажем основную теорему о самосопряженных операторах, параллельную теореме п. 4 об ортогональных и унитарных операторах и тесно с ней связанную.

5. Теорема. а) Для того чтобы оператор f в конечномерном евклидовом или унитарном пространстве был самосопряжен, необходимо и достаточно, чтобы он диагонализировался в ортонормированном базисе и имел вещественный спектр.

б) Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. а) Достаточность провели в начале этого раздела. Вещественность спектра в унитарном случае устанавливается просто: пусть - собственное значение оператора - соответствующий собственный вектор. Тогда


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник