Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Самосопряженные операторы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


Операторы со свойством f* = f в евклидовых и конечномерных унитарных пространствах называются самосопряженными, в евклидовом случае - также симметричными, а в унитарном - эрмитовыми. Эта терминология объясняется следующим простым замечанием.

3. Предложение. Если оператор в ортонормированном базисе задается матрицей A, то оператор f* задается в этом же базисе матрицей At (евклидов случай) или (унитарный случай).

В частности, оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе симметрична или эрмитова.

Доказательство. Обозначая скалярное произведение в L скобками, а векторы - столбцами их координат в ортонормированном базисе, имеем

(евклидов случай). Отсюда и следует, что матрица f* равна At. Унитарный случай разбирается аналогично.

4. Самосопряженные операторы и скалярные произведения. Пусть L - пространство с симметричным или эрмитовым скалярным произведением ( , ). Для любого линейного оператора можем определить новое скалярное произведение ( , )f на L, положив

(l1, l2)f = (f(l1), l2).

Предположим, что L невырождено, так что можем пользоваться понятием сопряженного оператора. Тогда


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник