Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Самосопряженные операторы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


Формула (3) определяет операцию (формального) сопряжения дифференциальных операторов: . Оператор D называется (формально) самосопряженным, если D = D*. Слово "формальный" здесь напоминает о том, что в определении не указано явно пространство, на котором D реализуется как линейный оператор.

Если скалярное произведение определяется с помощью веса G(x):

то очевидные вычисления показывают, что вместо D* следует рассматривать оператор (считая, что G не обращается в нуль); именно он является кандидатом на роль сопряженного оператора к D относительно (f, g)G.

Покажем, что ортогональные системы функций, рассмотренные в разделе Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены, состоят из собственных функций самосопряженных дифференциальных операторов.

а) Вещественные многочлены Фурье степени . Оператор , формально самосопряженный, переводит это пространство в себя и самосопряжен на нем. Кроме того, его собственные значения равны 0 (кратность 1) и -12, -22, ..., - N2 (кратность 2). Соответствующие собственные векторы суть 1 и .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник