Однако скалярные произведения в унитарном пространстве L и евклидовом L_R не совпадают: второе принимает только вещественные значения, а первое - комплексные. На самом деле, эрмитово скалярное произведение на комплексном пространстве приводит не только к ортогональной, но и к симплектической структуре на L_R с помощью следующей конструкции.

Временно мы возвращаемся к обозначению g(l, m) для эрмитова скалярного произведения на L и положим

a(l, m) = Re g(l, m),

b(l, m) = Im g(l, m).

Тогда имеют место следующие факты:

2. Предложение. а) a(l, m) - симметричное, а b(l, m) - антисимметричное скалярное произведение на L_R; оба они инвариантны относительно умножения на i, т. е. канонической комплексной структуры на L_R:

a(il, im) = a(l, m), b(il, im) = b(l, m);

б) a и b связаны следующими соотношениями:

a(l, m) = b(il, m), b(l, m) = - a(il, m);

в) любая пара связанных соотношениями б) i-инвариантных форм a, b на L_R, первая из которых симметрична, а вторая антисимметрична, определяет эрмитово скалярное произведение на L по формуле

g(l, m) = a(l, m) + ib(l, m);

г) форма g положительно определена тогда и только тогда, когда форма a положительно определена.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-