Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Унитарные пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Унитарные пространства


1. Определение. Унитарным пространством называется комплексное линейное пространство L с эрмитовым положительно определенным скалярным произведением.

Как в разделе Евклидовы пространства, будем писать (l, m) вместо g(l, m) и | l | вместо (l, l)1/2. Далее убедимся, что | l | является нормой на L в смысле п. 1. Унитарные пространства, полные относительно этой нормы, называются также гильбертовыми. В частности, конечномерные унитарные пространства гильбертовы.

Из результатов, доказанных в разделах Теоремы классификации, Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены, следует, что:

а) всякое конечномерное унитарное пространство имеет ортонормированный базис, все векторы которого имеют длину 1;

б) поэтому оно изоморфно координатному унитарному пространству Cn (n = dim L) со скалярным произведением

Ряд свойств унитарных пространств близок к свойствам евклидовых, главным образом по следующей причине: если L - конечномерное унитарное пространство, то на его овеществлении LR имеется (единственная) структура евклидова пространства, в которой норма | l | вектора та же, что и в L. Существование видно из предыдущего абзаца: если {e1, ..., en} - ортонормированный базис L, а {e1, ie1, e2, ie2, ..., en, ien} - соответствующий базис LR, то

и выражение справа есть евклидов квадрат нормы вектора в ортонормированном базисе {ej, iej}. Единственность следует из п. 9.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник