Унитарные пространства

1. Определение. Унитарным пространством называется комплексное линейное пространство L с эрмитовым положительно определенным скалярным произведением.

Как в разделе Евклидовы пространства, будем писать (l, m) вместо g(l, m) и | l | вместо (l, l)^1/2. Далее убедимся, что | l | является нормой на L в смысле п. 1. Унитарные пространства, полные относительно этой нормы, называются также гильбертовыми. В частности, конечномерные унитарные пространства гильбертовы.

Из результатов, доказанных в разделах Теоремы классификации, Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены, следует, что:

а) всякое конечномерное унитарное пространство имеет ортонормированный базис, все векторы которого имеют длину 1;

б) поэтому оно изоморфно координатному унитарному пространству Cⁿ (n = dim L) со скалярным произведением

Ряд свойств унитарных пространств близок к свойствам евклидовых, главным образом по следующей причине: если L - конечномерное унитарное пространство, то на его овеществлении L_R имеется (единственная) структура евклидова пространства, в которой норма | l | вектора та же, что и в L. Существование видно из предыдущего абзаца: если {e₁, ..., e_n} - ортонормированный базис L, а {e₁, ie₁, e₂, ie₂, ..., e_n, ie_n} - соответствующий базис L_R, то

и выражение справа есть евклидов квадрат нормы вектора в ортонормированном базисе {e_j, ie_j}. Единственность следует из п. 9.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-