b) Если , то во всяком случае

и ,

потому что объединение базисов L_i порождает L и, значит, содержит базис L. По теореме п. 3, примененной к L_j и , имеем

Но размерность пересечения слева нулевая по предыдущему утверждению. Кроме того, если сумма всех L_i прямая, то и сумма всех L_i, кроме L_j, прямая, и мы можем по индукции считать, что

. Поэтому .

Наоборот, если , то объединение базисов всех L_i состоит из dim L элементов и порождает все L, а потому является базисом в L. В самом деле, нетривиальное представление нуля , дало бы нетривиальную линейную комбинацию элементов этого базиса, равную нулю, что невозможно.

Рассмотрим теперь связь между разложениями в прямую сумму и специальными линейными операторами - проекторами.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-