Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
b) Если ![](Math/o01345.jpg) , то во всяком случае
![](Math/o01335.jpg) и ![](Math/o01346.jpg) ![](Math/o02346.jpg) ![](Math/o03346.jpg) ,
потому что объединение базисов Li порождает L и, значит, содержит базис L. По теореме п. 3, примененной к Lj и ![](Math/o01347.jpg) , имеем
![](Math/o01348.jpg) ![](Math/o02348.jpg) ![](Math/o03348.jpg) ![](Math/o04348.jpg) ![](Math/o05348.jpg) ![](Math/o06348.jpg) ![](Math/o07348.jpg) ![](Math/o08348.jpg)
Но размерность пересечения слева нулевая по предыдущему утверждению. Кроме того, если сумма всех Li прямая, то и сумма всех Li, кроме Lj, прямая, и мы можем по индукции считать, что
![](Math/o01349.jpg) ![](Math/o02349.jpg) ![](Math/o03349.jpg) ![](Math/o04349.jpg) . Поэтому ![](Math/o01350.jpg) ![](Math/o02350.jpg) ![](Math/o03350.jpg) .
Наоборот, если ![](Math/o01350.jpg) ![](Math/o02350.jpg) ![](Math/o03350.jpg) , то объединение базисов всех Li состоит из dim L элементов и порождает все L, а потому является базисом в L. В самом деле, нетривиальное представление нуля ![](Math/o01351.jpg) ![](Math/o02351.jpg) ![](Math/o03351.jpg) , дало бы нетривиальную линейную комбинацию элементов этого базиса, равную нулю, что невозможно.
Рассмотрим теперь связь между разложениями в прямую сумму и специальными линейными операторами - проекторами.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-
|