Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4. Следствие. Пусть ![](Math/o01322.jpg) ![](Math/o02322.jpg) - размерности пространств L1, L2 и L соответственно. Тогда числа i = dim ![](Math/o01309.jpg) и s = dim (L1 + L2) могут принимать любые значения, подчиненные условиям ![](Math/o01323.jpg) ![](Math/o02323.jpg) ![](Math/o03323.jpg) ![](Math/o04323.jpg) ![](Math/o05323.jpg) и i + s = n1 + n2.
Доказательство.
Необходимость условий следует из включений ![](Math/o01324.jpg) ![](Math/o02324.jpg) ![](Math/o03324.jpg) ![](Math/o04324.jpg) ![](Math/o05324.jpg) и из теоремы п. 3. Для доказательства достаточности выберем s = n1 + n2 - i линейно независимых векторов в ![](Math/o01325.jpg) ![](Math/o02325.jpg) ![](Math/o03325.jpg) ![](Math/o04325.jpg) ![](Math/o05325.jpg) ![](Math/o06325.jpg) и обозначим через L1, L2 линейные оболочки ![](Math/o01326.jpg) ![](Math/o02326.jpg) и ![](Math/o01327.jpg) ![](Math/o02327.jpg) соответственно. Как в теореме, нетрудно проверить, что ![](Math/o01309.jpg) есть линейная оболочка {e1, ..., ei}.
5. Теперь мы можем установить, что инварианты n1 = dim L1, n2 = dim L2 и i = dim ![](Math/o01309.jpg) полностью характеризуют расположение пары подпространств (L1, L2) в L. Для доказательства возьмем другую пару ( , ) с теми же инвариантами, построим согласованные пары базисов для L1, L2 и , , затем их объединения - базисы L1 + L2 и + , как в доказательстве теоремы п. 3, наконец, продолжим эти объединения до двух базисов L. Линейный автоморфизм, переводящий первый базис во второй, устанавливает одинаковость расположения L1, L2 и , .
6. Общее положение. В обозначениях предыдущего пункта будем говорить, что подпространства ![](Math/o01307.jpg) находятся в общем положении, если их пересечение имеет наименьшую, а сумма - наибольшую размерность, допускаемую неравенствами из следствия п. 4.
Например, две плоскости в трехмерном пространстве находятся в общем положении, если они пересекаются по прямой, а в четырехмерном пространстве, - если они пересекаются по точке.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-
|