Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


4. Следствие. Пусть - размерности пространств L1, L2 и L соответственно. Тогда числа i = dim и s = dim (L1 + L2) могут принимать любые значения, подчиненные условиям и i + s = n1 + n2.

Доказательство.

Необходимость условий следует из включений и из теоремы п. 3. Для доказательства достаточности выберем s = n1 + n2 - i линейно независимых векторов в и обозначим через L1, L2 линейные оболочки и соответственно. Как в теореме, нетрудно проверить, что есть линейная оболочка {e1, ..., ei}.

5. Теперь мы можем установить, что инварианты n1 = dim L1, n2 = dim L2 и i = dim полностью характеризуют расположение пары подпространств (L1, L2) в L. Для доказательства возьмем другую пару (, ) с теми же инвариантами, построим согласованные пары базисов для L1, L2 и , , затем их объединения - базисы L1 + L2 и + , как в доказательстве теоремы п. 3, наконец, продолжим эти объединения до двух базисов L. Линейный автоморфизм, переводящий первый базис во второй, устанавливает одинаковость расположения L1, L2 и , .

6. Общее положение. В обозначениях предыдущего пункта будем говорить, что подпространства находятся в общем положении, если их пересечение имеет наименьшую, а сумма - наибольшую размерность, допускаемую неравенствами из следствия п. 4.

Например, две плоскости в трехмерном пространстве находятся в общем положении, если они пересекаются по прямой, а в четырехмерном пространстве, - если они пересекаются по точке.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник