Докажем, что семейство составляет базис пространства L₁ + L₂. Отсюда будет следовать утверждение теоремы:

dim(L₁ + L₂) = p + n - m = dim L₁ + dim L₂ - dim .

Поскольку каждый вектор из L₁ + L₂ есть сумма векторов из L₁ и L₂, т. е. сумма линейных комбинаций и , объединение этих семейств порождает L₁ + L₂. Поэтому остается лишь проверить его линейную независимость.

Предположим, что существует нетривиальная линейная зависимость

Тогда обязательно должны существовать индексы j и k, для которых и : в противном случае мы бы получили нетривиальную линейную зависимость между элементами базиса L₁ или L₂.

Следовательно, ненулевой вектор должен лежать также в L₁, либо он равен - . Значит он лежит в и потому представим в виде линейной комбинации векторов {e₁, ..., e_m}, составляющих базис . Но это представление дает нетривиальную линейную зависимость между векторами , что противоречит их определению. Теорема доказана.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-