Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Докажем, что семейство ![](Math/o01315.jpg) ![](Math/o02315.jpg) ![](Math/o03315.jpg) ![](Math/o04315.jpg) составляет базис пространства L1 + L2. Отсюда будет следовать утверждение теоремы:
dim(L1 + L2) = p + n - m = dim L1 + dim L2 - dim ![](Math/o01309.jpg) .
Поскольку каждый вектор из L1 + L2 есть сумма векторов из L1 и L2, т. е. сумма линейных комбинаций ![](Math/o01313.jpg) ![](Math/o02313.jpg) ![](Math/o03313.jpg) ![](Math/o04313.jpg) и ![](Math/o01314.jpg) ![](Math/o02314.jpg) ![](Math/o03314.jpg) ![](Math/o04314.jpg) , объединение этих семейств порождает L1 + L2. Поэтому остается лишь проверить его линейную независимость.
Предположим, что существует нетривиальная линейная зависимость
![](Math/o01316.jpg) ![](Math/o02316.jpg) ![](Math/o03316.jpg) ![](Math/o04316.jpg) ![](Math/o05316.jpg) ![](Math/o06316.jpg)
Тогда обязательно должны существовать индексы j и k, для которых ![](Math/o01317.jpg) и ![](Math/o01318.jpg) : в противном случае мы бы получили нетривиальную линейную зависимость между элементами базиса L1 или L2.
Следовательно, ненулевой вектор ![](Math/o01319.jpg) ![](Math/o02319.jpg) ![](Math/o03319.jpg) должен лежать также в L1, либо он равен - ![](Math/o01320.jpg) ![](Math/o02320.jpg) ![](Math/o03320.jpg) ![](Math/o04320.jpg) . Значит он лежит в ![](Math/o01309.jpg) и потому представим в виде линейной комбинации векторов {e1, ..., em}, составляющих базис ![](Math/o01309.jpg) . Но это представление дает нетривиальную линейную зависимость между векторами ![](Math/o01321.jpg) ![](Math/o02321.jpg) ![](Math/o03321.jpg) ![](Math/o04321.jpg) ![](Math/o05321.jpg) , что противоречит их определению. Теорема доказана.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-
|