Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Подпространства и прямые суммы
1. Пусть ![](Math/o01301.jpg) - два подпространства. Естественно считать, что они одинаково расположены внутри L, если существует такой линейный автоморфизм ![](Math/o01302.jpg) , который переводит L1 в . Для этого, конечно, необходимо, чтобы dim L1 = dim , потому что f сохраняет все линейные соотношения и, значит, переводит базис L1 в базис . Но этого и достаточно. В самом деле, выберем базисы {e1, ..., em} в L1 и ![](Math/o01304.jpg) ![](Math/o02304.jpg) в . По теореме п.12 их можно дополнить до базисов {e1, ..., em, em+1, ..., en} и ![](Math/o01305.jpg) ![](Math/o02305.jpg) ![](Math/o03305.jpg) ![](Math/o04305.jpg) ![](Math/o05305.jpg) пространства L. По предложению п.3 существует линейное отображение ![](Math/o01302.jpg) , переводящее ei в для всех i. Это отображение обратимо и переводит L1 в .
Таким образом, все линейные подпространства одинаковой размерности одинаково расположены внутри L.
Дальше рассмотрим возможные расположения (упорядоченных) пар подпространства ![](Math/o01307.jpg) . Пары (L1, L2) и ( , ) одинаково расположены, если существует такой линейный автоморфизм ![](Math/o01302.jpg) , что f(L1) = f(L2) = . Снова равенства dim L1 = dim и dim L2 = dim являются необходимыми для одинаковой расположенности. Однако этих условий уже не достаточно. Действительно, если (L1, L2) и ( , ) одинаково расположены, то f переводит подпространство ![](Math/o01309.jpg) в ![](Math/o01310.jpg) , и потому необходимо также условие dim(![](Math/o01309.jpg) ) = dim(![](Math/o01310.jpg) ). Если dim L1 и dim L2 фиксированы, но L1 и L2 в остальном произвольны, то dim(![](Math/o01309.jpg) ) может принимать целый ряд значений.
Чтобы выяснить, какими они могут быть, введем понятие суммы линейных подпространств.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-
|