Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Подпространства и прямые суммы


1. Пусть - два подпространства. Естественно считать, что они одинаково расположены внутри L, если существует такой линейный автоморфизм , который переводит L1 в . Для этого, конечно, необходимо, чтобы dim L1 = dim, потому что f сохраняет все линейные соотношения и, значит, переводит базис L1 в базис . Но этого и достаточно. В самом деле, выберем базисы {e1, ..., em} в L1 и в . По теореме п.12 их можно дополнить до базисов {e1, ..., em, em+1, ..., en} и пространства L. По предложению п.3 существует линейное отображение , переводящее ei в для всех i. Это отображение обратимо и переводит L1 в .

Таким образом, все линейные подпространства одинаковой размерности одинаково расположены внутри L.

Дальше рассмотрим возможные расположения (упорядоченных) пар подпространства . Пары (L1, L2) и (, ) одинаково расположены, если существует такой линейный автоморфизм , что f(L1) = f(L2) = . Снова равенства dim L1 = dim и dim L2 = dim являются необходимыми для одинаковой расположенности. Однако этих условий уже не достаточно. Действительно, если (L1, L2) и (, ) одинаково расположены, то f переводит подпространство в , и потому необходимо также условие dim() = dim(). Если dim L1 и dim L2 фиксированы, но L1 и L2 в остальном произвольны, то dim() может принимать целый ряд значений.

Чтобы выяснить, какими они могут быть, введем понятие суммы линейных подпространств.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник