Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2. Определение. Пусть ![](Math/o01311.jpg) ![](Math/o02311.jpg) - линейные подпространства в L. Их суммой называется множество
![](Math/o01312.jpg) ![](Math/o02312.jpg) ![](Math/o03312.jpg) ![](Math/o04312.jpg) ![](Math/o05312.jpg) ![](Math/o06312.jpg)
Легко убедиться, что сумма также является линейным подпространством и что эта операция сложения ассоциативна и коммутативна, так же как и операция пересечения линейных подпространств. Другое описание суммы L1 + ... + Ln состоит в том, что это наименьшее подпространство в L, содержащее все Li.
Следующая теорема связывает размерности суммы двух подпространств и их пересечения:
3. Теорема. Если ![](Math/o01307.jpg) конечномерны, то ![](Math/o01309.jpg) и L1 + L2 конечномерны и
dim(![](Math/o01309.jpg) ) + dim(L1 + L2) = dim L1 + dim L2.
Доказательство. L1 + L2 является линейной оболочкой объединения базисов L1 и L2 и потому конечномерно; ![](Math/o01309.jpg) содержится в конечномерных пространствах L1 и L2.
Положим m = dim ![](Math/o01309.jpg) , n = dim L1, p = dim L2. Выберем базис {e1, ..., em} пространства ![](Math/o01309.jpg) , его можно дополнить до базисов пространств L1 и L2: пусть это будет ![](Math/o01313.jpg) ![](Math/o02313.jpg) ![](Math/o03313.jpg) ![](Math/o04313.jpg) и ![](Math/o01314.jpg) ![](Math/o02314.jpg) ![](Math/o03314.jpg) ![](Math/o04314.jpg) . Назовем такую пару базисов в L1 и L2 согласованной.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-
|