Доказательство.

Применяя оператор id = к любому векторы , получим , где . Поэтому . Для доказательства того, что эта сумма прямая, применим критерий а) из теоремы п.8. Пусть . В силу определения пространств существуют такие векторы L₁, ..., l_n, что

Применим к этому равенству оператор p_j и воспользуемся тем, что , p_jp_i = 0 при . Получим

Следовательно, l = 0, что завершает доказательство.

11. Прямые дополнения. Если L - конечномерное пространство, то для любого подпространства можно выбрать такое подпространство , что ; кроме тривиальных случаев L₁ = {0} или L₁ = L этот выбор неоднозначен. В самом деле, выбрав базис {e₁, ..., e_m} в L₁ и продолжив его до базиса {e₁, ..., e_m, e_m+1, ..., e_n} в L, мы можем взять в качестве L₂ линейную оболочку векторов {e_m+1, ..., e_n}.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-