Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Доказательство.
Применяя оператор id = ![](Math/o01363.jpg) к любому векторы ![](Math/o01328.jpg) , получим ![](Math/o01366.jpg) ![](Math/o02366.jpg) , где ![](Math/o01367.jpg) ![](Math/o02367.jpg) . Поэтому ![](Math/o01368.jpg) ![](Math/o02368.jpg) . Для доказательства того, что эта сумма прямая, применим критерий а) из теоремы п.8. Пусть ![](Math/o01369.jpg) ![](Math/o02369.jpg) ![](Math/o03369.jpg) . В силу определения пространств ![](Math/o01358.jpg) существуют такие векторы L1, ..., ln, что
![](Math/o01370.jpg) ![](Math/o02370.jpg) ![](Math/o03370.jpg) ![](Math/o04370.jpg) ![](Math/o05370.jpg) ![](Math/o06370.jpg)
Применим к этому равенству оператор pj и воспользуемся тем, что ![](Math/o01371.jpg) , pjpi = 0 при ![](Math/o01359.jpg) . Получим
![](Math/o01372.jpg) ![](Math/o02372.jpg) ![](Math/o03372.jpg) ![](Math/o04372.jpg) ![](Math/o05372.jpg) ![](Math/o06372.jpg)
Следовательно, l = 0, что завершает доказательство.
11. Прямые дополнения. Если L - конечномерное пространство, то для любого подпространства ![](Math/o01373.jpg) можно выбрать такое подпространство ![](Math/o01374.jpg) , что ![](Math/o01375.jpg) ; кроме тривиальных случаев L1 = {0} или L1 = L этот выбор неоднозначен. В самом деле, выбрав базис {e1, ..., em} в L1 и продолжив его до базиса {e1, ..., em, em+1, ..., en} в L, мы можем взять в качестве L2 линейную оболочку векторов {em+1, ..., en}.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-
|