Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7. Определение. Пространство L является прямой суммой своих подространств L1, ..., Ln, если каждый вектор ![](Math/o01328.jpg) однозначно представляется в виде ![](Math/o01329.jpg) , где ![](Math/o01330.jpg) .
Когда условия определения выполнены, мы пишем ![](Math/o01331.jpg) ![](Math/o02331.jpg) ![](Math/o03331.jpg) , или ![](Math/o01332.jpg) ![](Math/o02332.jpg) . Например, если {e1, ..., en} - базис L, а ![](Math/o01333.jpg) - линейная оболочка вектора ei, то ![](Math/o01332.jpg) ![](Math/o02332.jpg) . Очевидно, если ![](Math/o01332.jpg) ![](Math/o02332.jpg) , то ![](Math/o01334.jpg) ![](Math/o02334.jpg) ; последнее условие является более слабым.
8. Теорема. Пусть ![](Math/o01311.jpg) - подпространства в L. ![](Math/o01332.jpg) Li тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий:
а) ![](Math/o01335.jpg) и ![](Math/o01336.jpg) ![](Math/o02336.jpg) для всех ![](Math/o01337.jpg) ![](Math/o02337.jpg) ;
б) ![](Math/o01335.jpg) и ![](Math/o01338.jpg) ![](Math/o02338.jpg) (здесь предполагается, что L конечномерно).
Доказательство.
а) Однозначность представления любого вектора ![](Math/o01328.jpg) в виде ![](Math/o01339.jpg) ![](Math/o02339.jpg) , равносильна однозначности такого представления для нулевого вектора. В самом деле, если ![](Math/o01340.jpg) ![](Math/o02340.jpg) ![](Math/o03340.jpg) , то ![](Math/o01341.jpg) ![](Math/o02341.jpg) ![](Math/o03341.jpg) , и наоборот. Если имеется нетривиальное представление ![](Math/o01342.jpg) ![](Math/o02342.jpg) , в котором, скажем, ![](Math/o01343.jpg) , то ![](Math/o01344.jpg) ![](Math/o02344.jpg) ![](Math/o03344.jpg) ![](Math/o04344.jpg) ![](Math/o05344.jpg) , так что условие а) нарушено. Обращая это рассуждение, получаем, что из нарушения условия а) следует неоднозначность представления нуля.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-
|