Линейные пространства и линейные отображения / Базис и размерность / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
19. Лемма Цорна. Пусть X - непустое частично упорядоченное множество, любая цепь в котором обладает верхней гранью в X. Тогда любая цепь обладает такой верхней гранью, которая является в то же время максимальным элементом в X.
Лемму Цорна можно выводить из других, более приемлемых интуитивно аксиом теории множеств, но логически она эквивалентна так называемой "аксиоме выбора", если остальные аксиомы приняты. Поэтому удобно причислять ее к числу основных аксиом, что часто и делается.
20. Пример применения леммы Цорна: существование базиса в бесконечномерных линейных пространствах. Пусть L - линейное пространство над полем ![](Math/o011.JPG) . Обозначим через ![](Math/o01128.jpg) множество линейно независимых подмножеств векторов в L, упорядоченное отношением ![](Math/o01126.jpg) .
Иными словами, ![](Math/o01129.jpg) , если любая конечная линейная комбинация векторов из Y, равная нулю, имеет нулевые коэффициенты. Проверим условие леммы Цорна: если S - некоторая цепь в X, то у нее есть верхняя грань в X. Действительно, положим ![](Math/o01130.jpg) . Ясно, что ![](Math/o01131.jpg) для всякого ![](Math/o01132.jpg) ; кроме того, Z образует линейно независимое множество векторов, потому что любое конечное множество векторов {y1, ..., yn} из Z содержится в некотором элементе ![](Math/o01132.jpg) . В самом деле, пусть ![](Math/o01133.jpg) ![](Math/o02133.jpg) ; так как S - цепь, из каждых двух элементов ![](Math/o01134.jpg) один является подмножеством другого; выкидывая по очереди меньшие множества из таких пар, мы получим, что среди Yi есть наибольшее множество; в нем и содержатся все y1, ..., yn, которые, таким образом, линейно независимы.
Применим теперь заключение леммы Цорна. Здесь достаточна только часть его: существование в X максимального элемента. Согласно определению, это такое линейно независимое множество векторов ![](Math/o01129.jpg) , что если добавить к нему любой вектор ![](Math/o01135.jpg) , то множество ![](Math/o01136.jpg) уже не будет линейно независимым. Точно такое же рассуждение, как при доказательстве утверждения б) леммы п. 9, показывает тогда, что l есть (конечная) линейная комбинация элементов Y, т. е. Y образует базис в L.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-
|