Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Базис и размерность / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


19. Лемма Цорна. Пусть X - непустое частично упорядоченное множество, любая цепь в котором обладает верхней гранью в X. Тогда любая цепь обладает такой верхней гранью, которая является в то же время максимальным элементом в X.

Лемму Цорна можно выводить из других, более приемлемых интуитивно аксиом теории множеств, но логически она эквивалентна так называемой "аксиоме выбора", если остальные аксиомы приняты. Поэтому удобно причислять ее к числу основных аксиом, что часто и делается.

20. Пример применения леммы Цорна: существование базиса в бесконечномерных линейных пространствах. Пусть L - линейное пространство над полем . Обозначим через множество линейно независимых подмножеств векторов в L, упорядоченное отношением .

Иными словами, , если любая конечная линейная комбинация векторов из Y, равная нулю, имеет нулевые коэффициенты. Проверим условие леммы Цорна: если S - некоторая цепь в X, то у нее есть верхняя грань в X. Действительно, положим . Ясно, что для всякого ; кроме того, Z образует линейно независимое множество векторов, потому что любое конечное множество векторов {y1, ..., yn} из Z содержится в некотором элементе . В самом деле, пусть ; так как S - цепь, из каждых двух элементов один является подмножеством другого; выкидывая по очереди меньшие множества из таких пар, мы получим, что среди Yi есть наибольшее множество; в нем и содержатся все y1, ..., yn, которые, таким образом, линейно независимы.

Применим теперь заключение леммы Цорна. Здесь достаточна только часть его: существование в X максимального элемента. Согласно определению, это такое линейно независимое множество векторов , что если добавить к нему любой вектор , то множество уже не будет линейно независимым. Точно такое же рассуждение, как при доказательстве утверждения б) леммы п. 9, показывает тогда, что l есть (конечная) линейная комбинация элементов Y, т. е. Y образует базис в L.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник