Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Базис и размерность / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Доказательство.

a) Если и , то . Наоборот, если , то .

б) Если не все ai равны нулю, то обязательно, иначе мы получили бы нетривиальную линейную зависимость между e1, ..., en. Поэтому . Лемма доказана.

Пусть E = {e1, ..., en} - некоторое конечное семейство векторов в L, F = {ei1, ..., eim} - его линейно независимое подсемейство. Назовем F максимальным, если каждый элемент из E линейно выражается через элементы из F.

10. Предложение. Каждое линейно независимое подсемейство содержится в некотором максимальном линейно независимом подсемействе . Линейные оболочки F и E совпадают.

Доказательство.

Если в есть вектор, не представимый в виде линейной комбинации элементов , добавим его к . В силу утверждения б) леммы п. 9 полученное семейство будет линейно независимым. Применим то же рассуждение к и т. д. Поскольку E конечно, этот процесс оборвется на максимальном семействе F. Любой элемент линейной оболочки E, очевидно, линейно выражается через векторы семейства F.

В случае в качестве нужно выбрать ненулевой вектор из E, если он есть; иначе F пусто.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник