Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Базис и размерность / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


6. Примеры. а) имеет размерность n. б) F(S) имеет размерность n, равную числу элементов S, если S конечно.

Далее будет представлено вычисление размерности линейных пространств, без построения их базисов. Это очень важно, потому что многие числовые инварианты в математике определяются как размерности ("числа Бетти" в топологии, индексы операторов в теории дифференциальных уравнений); базисы же соответстсвующих пространств могут оказаться трудно вычислимыми или не имеющими особого смысла.

Проверка того, что данное семейство векторов {e1, ..., en} в L образует базис, в соответствии с определением состоит из двух частей. Их отдельное рассмотрение приводит к следующим понятиям.

7. Определение. Линейной оболочкой семейства векторов называется множество их всевозможных линейных комбинаций в L.

Легко проверить, что линейная оболочка является линейным подпространством в L. Линейную оболочку e1 + e2 + ... также называют подпространством, натянутым на векторы {ei} или порожденным векторами семейства {ei}. Ее можно определить еще как пересечение всех линейных подпространств в L, содержащих все ei. Рангом семейства векторов называется размерность его линейной оболочки.

Первое характеристическое свойство базиса: его линейная оболочка совпадает со всем L.

8. Определение. Семейство векторов {ei} называется линейно независимым, если никакая нетривиальная линейная комбинация {ei} не равна нулю, т. е. если из следует, что все ai = 0. В противном случае оно называется линейно зависимым.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник