Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Базис и размерность / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


17. Основной принцип работы с бесконечномерными пространствами: лемма Цорна, или трансфинитная индукция. Большинство теорем конечномерной линейной алгебры нетрудно доказать, опираясь на существование конечных базисов и теорему п. 12 о продолжении базисов: много примеров будет представлено далее. Но привычка к базисам затрудняет переход к функциональному анализу. Опишем теоретико-множественный принцип, который в очень многих случаях заменяет апелляцию к базисам.

Напомним. что частично упорядоченным множеством называется множество X вместе с бинарным отношением порядка на X, которое рефлексивно (), транзитивно (если , то ) и антисимметрично (если и , то x = y). Вполне может оказаться, что пара элементов не находится ни в отношении , ни в отношении . Если же для любой пары либо , либо , то множество называется линейно упорядоченным, или цепью.

Верхняя грань подмножества Y в частично упорядоченном множестве X - это любой элемент такой, что для всех . Верхняя грань подмножества может и не существовать: если X = R с обычным отношением , а Y = Z (целые числа), то верхней грани у Y нет.

Наибольшим элементом частично упорядоченного множества X называется элемент такой, что для всех , а максимальным - элемент , для которого из следует x = m. Наибольший элемент всегда максимален, но не наоборот.

18. Пример. Типичный пример упорядоченного множества X - это множество всех подмножеств множества S или некоторая его часть, упорядоченное отношение . Если S имеет больше двух элементов, то частично упорядочено, но не линейно упорядочено. Элемент максимальный, и даже наибольший в .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник