Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Базис и размерность / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


15. Теорема. Размерность пространства L равна длине любого его максимального флага.

Доказательство. Пусть - максимальный флаг в L. Для каждого выберем вектор и покажем, что {e1, ..., ei} образуют базис пространства Li.

Прежде всего, линейная оболочка семейства {e1, ..., ei} порождают Li. Пусть это верно для i - 1, и пусть M - линейная оболочка семейства {e1, ..., ei}. Тогда по индуктивному предположению и из-за того, что . По определению максимальности флага отсюда следует, что M = Li.

Теперь нетрудно завершить доказательство теоремы. Если - конечный максимальный флаг в L, то векторы {e1, ..., en}, , по доказанному образуют базис в L, так что n = dim L. Если в L есть бесконечный максимальный флаг, то эта конструкция дает сколь угодно большие линейно независимые семейства векторов в L, так что L бесконечномерно.

16. Дополнение. В конечномерном пространстве L любой флаг можно дополнить до максимального, и поэтому его длина всегда . Действительно, будем вставлять в исходный флаг промежуточные подпространства, пока это возможно. Этот процесс не может продолжаться до бесконечности, т. к. конструкция систем векторов {e1, ..., ei}, , по любому флагу дает линейно независимые системы (см. начало доказательство теоремы п. 15), и потому длина флага не может превзойти dim L.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник