15. Теорема. Размерность пространства L равна длине любого его максимального флага.

Доказательство. Пусть - максимальный флаг в L. Для каждого выберем вектор и покажем, что {e₁, ..., e_i} образуют базис пространства L_i.

Прежде всего, линейная оболочка семейства {e₁, ..., e_i} порождают L_i. Пусть это верно для i - 1, и пусть M - линейная оболочка семейства {e₁, ..., e_i}. Тогда по индуктивному предположению и из-за того, что . По определению максимальности флага отсюда следует, что M = L_i.

Теперь нетрудно завершить доказательство теоремы. Если - конечный максимальный флаг в L, то векторы {e₁, ..., e_n}, , по доказанному образуют базис в L, так что n = dim L. Если в L есть бесконечный максимальный флаг, то эта конструкция дает сколь угодно большие линейно независимые семейства векторов в L, так что L бесконечномерно.

16. Дополнение. В конечномерном пространстве L любой флаг можно дополнить до максимального, и поэтому его длина всегда . Действительно, будем вставлять в исходный флаг промежуточные подпространства, пока это возможно. Этот процесс не может продолжаться до бесконечности, т. к. конструкция систем векторов {e₁, ..., e_i}, , по любому флагу дает линейно независимые системы (см. начало доказательство теоремы п. 15), и потому длина флага не может превзойти dim L.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-