Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Базис и размерность / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Поэтому в M есть вектор en+1, линейно не выражающийся через {e1, ..., en}, и утверждение б) леммы п. 9 показывает, что семейство {e1, ..., en, en+1} линейно независимо. Теперь предположим, что M бесконечномерно, а L n-мерно. Тогда любые n + 1 линейных комбинаций элементов базиса L линейно зависимы по рассуждению в доказательстве теоремы п. 4, что противоречит бесконечномерности M.

Остается разобрать случай, когда M и L конечномерны. Но тогда любой базис M по теореме п. 12 можно продолжить до базиса L, откуда и следует, что .

Наконец, если dim M = dim L, то любой базис M должен быть базисом L - иначе его продолжение до базиса состояло бы из > dim L элементов, что невозможно.

14. Базисы и флаги. Один из стандартных способов изучения множеств S с алгебраическими структурами состоит в выделении в них последовательности подмножеств или так, что переход от одного подмножества к следующему устроен в каком-то смысле просто. Общее название таких последовательностей - фильтрации (возрастающая и убывающая соответственно). В теории линейных пространств строго возрастающая последовательность подпространств пространства L называется флагом. (Мотивировка названия: флаг {точка 0}{прямая}{плоскость} - это "гвоздь", "древко" и "полотнице".)

Число n назовем длиной флага .

Флаг назовем максимальным, если и между Li, Li+1 (для всех i) нельзя вставить подпространство: если , то либо Li = M, либо M = Li+1.

По всякому базису {e1, ..., en} пространства L можно построить флаг длины n, положив L0 = {0}, Li - линейная оболочка {e1, ..., ei} (при ). Из доказательства следующей теоремы будет видно, что этот флаг максимален и что наша конструкция дает все максимальные флаги.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник