11. Замечание. Этот результат верен и для бесконечных семейств Е. Для его доказательства следует применить трансфинитную индукцию или лемму Цорна.

Максимальное подсемейство не обязательно единственно: рассмотрим E = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}, = {(1, 0)} в . Тогда содержится в двух максимальных независимых подсемействах {(1, 0), (0, 1)} и {(1, 0), (1, 1)}. Однако число элементов максимального подсемейства определено однозначно; оно совпадает с размерностью линейной оболочки E и называется рангом семейства E.

12. Теорема о продолжении базиса. Пусть = {e₁, ..., e_m} - линейно независимое семейство векторов в конечномерном пространстве L. Тогда существует базис L, содержащий .

Доказательство. Выберем какой-нибудь базис {e_m+1, ..., e_n} в L и положим E = {e₁, ..., e_m, e_m+1, ..., e_n}. Обозначим через F максимальное линейно независимое подсемейство E, содержащее . Оно является искомым базисом.

В самом деле, нужно только проверить, что линейная оболочка F совпадает с L. Но она равна линейной оболочке E по предложению п. 10, а последняя равна L, потому что в E содержится базис пространства L.

13. Следствие (монотонность размерности). Пусть M - линейное подпространство в L. Тогда , и если L конечномерно, то из dim M = dim L следует, что M = L.

Доказательство. Если M бесконечномерно, то L также бесконечномерно. Действетельно, покажем сначала, что в M можно найти сколь угодно большие независимые семейства векторов. Если семейство из n линейно независимых векторов {e₁, ..., e_n} уже найдено, то его линейная оболочка не может совпадать с M - иначе M было бы n-мерно.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-