Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


2. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. Он весьма близок к описанному в предыдущем пункте, но формулируется в более геометрических терминах. Будем рассматривать одновременно ортогональный и эрмитов случай.

Исходными данными являются: пространство (L, g) с ортогональной или эрмитовой метрикой, заданной в базисе . Пусть Li - подпространство, натянутое на , i = 1, ..., n. Процесс ортогонализации, примененный к базису , можно рассматривать как конструктивное доказательство следующего результата:

3. Предложение. Предположим, что в описанных обозначениях все подпространства L1, ..., Ln невырождены. Тогда существует такой ортогональный базис {e1, ..., en} пространства L, что линейная оболочка {e1, ..., ei} совпадает с Li для всех i = 1, ..., n. Он называется результатом ортогонализации исходного базиса . Каждый вектор ei определен однозначно с точностью до умножения на ненулевой скаляр.

Доказательство. Построим ei индукцией по i. В качестве e1 можно взять . Если e1, ..., ei-1 уже построены, будем искать ei в виде

Так как порождают Li, а и {e1, ..., ei-1} порождают Li-1, любой такой вектор ei вместе с e1, ..., ei-1 будет порождать Li. Поэтому достаточно добиться того, чтобы ei был ортогонален к e1, ..., ei-1, или, что тоже самое, к . Эти условия означают, что , k = 1, ..., i - 1, или


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник