для комплексных функций f.

Суммы справа, разумеется, конечны в рассматриваемом случае. Бесконечные ряды такой структуры называются рядами Фурье. Вопрос об их сходимости вообще и сходимости к той функции f, коэффициентами Фурье которой являются a_n, b_n, в частности, исследуется в одной из важнейших глав анализа.

7. Многочлены Лежандра. Здесь G = 1, (a, b) = (-1, 1). Многочлены Лежандра P₀(x), P₁(x), P₂(x), ... определяются как результат процесса ортогонализации, примененного к базису {1, x, x², ...} пространства вещественных многочленов. Обычно они нормируются условием P_n(1) = 1. В такой нормировке их явный вид дается следующим результатом:

8. Предложение. .

Доказательство. Так как степень многочлена (x² - 1)ⁿ равна 2n, степень равна n, так что P₁, ..., P_i порождают то же пространство над R, что и 1, x, ..., xⁱ. Поэтому для проверки ортогональности , достаточно убедиться, что

при k < n.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-