Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


4. Замечания и следствия. а) Процесс ортогонализации Грама-Шмидта чаще всего применяется в ситуации, когда g(l, l) > 0 для всех , т. е. к евклидовым и унитарным пространствам, которые подробно изучим позже. В этом случае все подпространства L автоматически невырождены, и ортогонализировать можно любой исходный базис. Форма g с таким свойством называется положительно определенной, и ее матрицы Грама называются положительно определенными.

б) В случае = R или C можно строить сразу ортонормированный базис. Для этого, отыскав вектор ei, как в доказательстве предложения, следует тут же заменить его на или (для ортогональных пространств над C).

в) Любой ортогональный базис невырожденного подпространства можно дополнить до ортогонального базиса всего пространства L.

Действительно, , и в качестве дополнения можно взять ортогональный базис . Искать его можно методом Грама-Шмидта, если сначала как-нибудь дополнить базис L0 до базиса L, позаботившись о невырожденности промежуточных подпространств.

г) Пусть - базис (L, g), а {e1, ..., en} - его ортогонализация. Положим ai = g(ei, ei) - это единственные ненулевые элементы матрицы Грама базиса {ei}. Будем считать, что g эрмитова или g ортогональна над R. Тогда все числа ai вещественны, и сигнатура g определяется количеством положительных и отрицательных чисел ai. Покажем, как восстановить ее по минорам исходной матрицы Грама . Пусть Gi - i-й диагональный минор, т. е. матрица Грама . Если Ai - матрица перехода к базису {e1, ..., ei}, то

в ортогональном случае или


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник