Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Линейные отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


6. Пусть - биективное отображение. Тогда у него есть теоретико-множественное обратное отображение . Мы утверждаем, что f -1 автоматически линейно. Для этого следует проверить, что

f -1(m1 + m2) = f -1(m1) + f -1(m2), f -1(am1) = af -1(m1)

для всех ; . Поскольку f биективно, существуют и однозначно определены такие векторы , что mi = f(li).

Написав формулы

f(l1) + f(l2) = f(l1 + l2), af(l1) = f(al1),

применив к их обеим частям f -1 и заменив в результате li на f -1(mi), получим требуемое.

Биективные линейные отображения называются изоморфизмами. Пространства L и M называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм.

Следующая теорема показывает, что размерность пространства полностью определяет его с точностью до изоморфизма.

7. Теорема. Два конечномерных пространства L и M над полем изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.

Доказательство. Изоморфизм l: сохраняет все свойства, формулируемые в терминах линейных комбинаций. В частности, он переводит любой базис L в некоторый базис M, так что размерности L и M совпадают. (Из этого рассуждения следует также, что конечномерное пространство не может быть изоморфно бесконечномерному.)


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник