Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Линейные отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Линейные отображения


1. Определение. Пусть L, M - линейные пространства над полем . Отображение называется линейным, если для всех имеем

f(al) = af(l), f(l1 + f2) = f(l1) + f(l2).

Линейное отображение является гомоморфизмом аддитивных групп. В самом деле, f(0) = 0f(0) = 0 и f(-l) = f((-1)l) = - f(l). Индукция по n показывает, что для любых , имеем .

Линейные отображения называют также линейными операторами на L.

2. Примеры. а) Нулевое линейное отображение , f(l) = 0 для всех . Тождественное линейное отображение: , f(l) = l для всех . Оно обозначается idL или id. Умножение на скаляр , или гомотетия , f(l) = al для всех . При a = 0 получается нулевой оператор, при a = 1 - тождественный.

б) Линейные отображения - это линейные функции или функционалы, на L. Пусть L - пространство с базисом {e1, ..., en}. Для любого отображение , где ei(l) - i-я координата l в базисе {e1, ..., en}, является линейным функционалом.

в) Пусть L = {x R | x > 0} наделено структурой линейного пространства над R, описанного ранее, M = R1. Отображение , R-линейно.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник