[an error occurred while processing the directive]
   Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Линейные отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


12. Теорема. Пусть L - конечномерное линейное пространство, - линейное отображение. Тогда Ker f и Im f конечномерны и

dim Ker f + dim Im f = dim L.

Доказательство. Ядро f конечномерно по следствию. Выберем базис {e1, ..., em} в Ker f и продолжим его до базиса {e1, ..., em, em+1, ..., em+n} пространства L по теореме. Покажем, что векторы f(em+1), ..., f(em+n) образуют базис в Im f. Отсюда очевидно, будет следовать теорема.

Любой вектор из Im f имеет вид

Следовательно, f(em+1), ..., f(em+n) порождают Im f.

Предположим, что . Тогда . Это значит, что Ker f, т. е. . Это возможно, только если все коэффициенты равны нулю, т. к. {e1, ..., em+n} - базис L. Следовательно, векторы f(em+1), ..., f(em+n) линейно независимы. Теорема доказана.

13. Следствие. Следующие свойства f равносильны (в случае конечномерного L):

a) f инъективно.

б) dim L = dim Im f.

Доказательство. Согласно теореме, dim L = dim Im f тогда и только тогда, когда dim Ker f = 0, т. е. Ker f = {0}.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник