Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Линейные отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


9. "Случайный" изоморфизм между пространством и двойственным к нему. Пусть L - конечномерное пространство с базисом {e1, ..., en}. Обозначим через линейный функционал

, где ei(l) - i-я координата вектора l в базисе {ei}

(не путать с i-й степенью; в линейном пространстве она не определена). Мы утверждаем, что функционалы {e1, ..., en} образуют базис в L*, так называемый двойственный к {e1, ..., en} базис. Равносильное описание {ei} такое: (символ Кронекера: 1 при i = k, 0 при ).

В самом деле, всякий линейный функционал можно представить в виде линейной комбинации {ei}:

Действительно, значения левой и правой части совпадают на любой линейной комбинации , потому что по определению ei.

Кроме того, {ei} линейно независимы: если , то для всех k, , имеем .

Поэтому L и L* имеют одинаковую размерность n и даже определен изоморфизм , который переводит ei в ei.

Однако этот изоморфизм не каноничен: замена базиса {e1, ..., en}, вообще говоря, меняет его. Так, если L одномерно, то для любого ненулевого вектора семейство {e1} является базисом L. Пусть {e1} - двойственный базис к {e1}, e1(e1) = 1. Тогда к базису , двойствен базис {a -1e1}. Но линейные отображения и различны, если только .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник